Lucas Borboleta

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Tag - orthogonalité

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dimanche 1 décembre 2013

Inner Product Space Characterization by Isometry Group over Unity Sphere

Why “power 2” in the Pythagorean theorem ? 

Let us assume a geometry over the set E considered as 1) a vector space over the real field ; 2) with finite dimensions ; 3) equiped with a norm. 

Which additional axioms have to be added in order to conclude that E is euclidean, or equivalently, that its norm is deriving from an inner product. Such additionnal axioms are searched in topology and in group formulations, as opposed to calculational ones, like the “polarisation identity”.

The attached document gathers theorems that proof the following axiom solution: 4) if a group G of isometries allows transportation between any pair of points of the unity sphere of E, then E is euclidean.

Borboleta_2013_Inner-Product-Space-Characterization-by-Isometric-Group-over-Unity-Sphere.pdf

samedi 4 décembre 2010

Les perpendiculaires de R2 en norme-p ne sont presque jamais droites sauf pour p=2 !

Parmi les normes-p de R2, seule la norme-2 induit des perpendiculaires toujours droites. C'est ce que montre l'article Les-perpendiculaires-en-norme-p-ne-sont-pas-des-droites-sauf-pour-p-egal-2.pdf .

Definition-de-la-perpendiculaire.PNG

C'est un pas de plus dans le cheminement pour la caractérisation de l’espace euclidien, dans un premier temps, par des contre-exemples de normes déconnectées d’un produit scalaire

dimanche 21 novembre 2010

Les perpendiculaires de R2 en norme-4 ne sont presque jamais droites !

Dans un espace vectoriel fini, toutes les normes sont équivalentes du point de vue topologique.

Sont-elles aussi équivalentes pour l'orthogonalité ?

L'article annexé au billet répond négativement par le contre exemple de la norme-4 dans R2: Les perpendiculaires n'y sont presque jamais droites ! Voir la figure ci-dessous. Ceci souligne une singularité de l'espace euclidien. Lire la suite dans l'article Les-perpendiculaires-de-R2-en-norme-4-ne-sont-presque-jamais-droites.pdf

La-perpendiculaire-au-vecteur-a-b-en-norme-4.png