Lucas Borboleta

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Rues de la Garenne-Colombes". Extrait :

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Reflets intérieurs". Extrait :

Les Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (France) sont publiés par la Bibliothèque Nationale de France. Le site web http://gallica.bnf.fr en permet la consultation.

Par exemple, le théorème de 1932 de Mazur et Ulam est lisible des pages 946 à 948 dans le volume référencé http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31473

Here is an homework that revisits  (in the simplest case of real vector space) the proof of 1935 by Jordan and von Neumann, that a vector normed space satisfying the parallelogram law can be equiped with an inner product: Borboleta_2012_Homework-on-Jordan-Neumann-Inner-Product-Spaces-Characterization.pdf.

 In this proof, the triangular inequality proprety of the norm is invoked for a continuity argument, but otherwise not used.

The euclidean norm is special among the p-norms. Indeed, let us focus on the plan R2. The set of linear isometries in R2, for any p-norm, always composes a group. But for any p-norm, except for p=2, such group is discrete and finite; basiclly it is generated by median and diagonal reflections. Only for p=2, such group of linear isometries is continous. This is showed in the article Borboleta_2012_Linear-Isometries-in-R2-for-P-Norms.

Parmi les normes-p de R2, seule la norme-2 induit des perpendiculaires toujours droites. C'est ce que montre l'article Les-perpendiculaires-en-norme-p-ne-sont-pas-des-droites-sauf-pour-p-egal-2.pdf .

C'est un pas de plus dans le cheminement pour la caractérisation de l’espace euclidien, dans un premier temps, par des contre-exemples de normes déconnectées d’un produit scalaire

Dans un espace vectoriel fini, toutes les normes sont équivalentes du point de vue topologique.

Sont-elles aussi équivalentes pour l'orthogonalité ?

L'article annexé au billet répond négativement par le contre exemple de la norme-4 dans R2: Les perpendiculaires n'y sont presque jamais droites ! Voir la figure ci-dessous. Ceci souligne une singularité de l'espace euclidien. Lire la suite dans l'article Les-perpendiculaires-de-R2-en-norme-4-ne-sont-presque-jamais-droites.pdf