Lucas Borboleta

Aller au contenu | Aller au menu | Aller à la recherche

dimanche 1 décembre 2013

Inner Product Space Characterization by Isometry Group over Unity Sphere

Why “power 2” in the Pythagorean theorem ? 

Let us assume a geometry over the set E considered as 1) a vector space over the real field ; 2) with finite dimensions ; 3) equiped with a norm. 

Which additional axioms have to be added in order to conclude that E is euclidean, or equivalently, that its norm is deriving from an inner product. Such additionnal axioms are searched in topology and in group formulations, as opposed to calculational ones, like the “polarisation identity”.

The attached document gathers theorems that proof the following axiom solution: 4) if a group G of isometries allows transportation between any pair of points of the unity sphere of E, then E is euclidean.

Borboleta_2013_Inner-Product-Space-Characterization-by-Isometric-Group-over-Unity-Sphere.pdf

dimanche 24 novembre 2013

Return on the 1932 proof of the Auerbach Theorem about Bounded Linear Groups

In 1932, Auerbach proved that, in any finite vector normed space, each bounded linear group left invariant a quadratic and positive form. This work revisits his proof with modern notation, and aims at paying attention to weaknesses: Borboleta_2013_Return-on-Auerbach-Theorem-for-bounded-linear-group.pdf.

lundi 18 novembre 2013

Chairs et portrait

Série photographique : Diaporama "chairs et portrait". Extrait :

dimanche 14 juillet 2013

MathSAN: Maths with Symbolic Ascii Notation

How to write and work electronic mathematical text without WYSIWYG software or LaTeX?  This memo aims at proposing  MathSAN, an acronym for Mathematics with Symbolic Ascii Notation, focusing on mathematical symbolic or semantic rather than typographic rendering: PDF memo, text memo.

Samples:
  • A .i B := {x: x .e A and x .e B }
  • sum[ i .e NAT ; 1<= i <= n ] = n*(n+1)/2
  • der[ x**3*y**2 ; x.2 ; y ] = 12*x*y
  • int[ x**2*dx ; a <= x <= b] = (b**3 - a**3)/3 

mercredi 14 novembre 2012

Impacts aquatiques

Série photographique : Diaporama "Impacts aquatiques". Extrait :

 

Structures intimes du bois

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Structures intimes du bois". Extrait :

  

mardi 13 novembre 2012

Rues de la Garenne-Colombes

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Rues de la Garenne-Colombes". Extrait :

  

samedi 10 novembre 2012

Tissus et motifs

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Tissus et motifs". Extrait :

  

Reflets intérieurs

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Reflets intérieurs". Extrait :

 

Ombres et volumes

Etude photographique de 2010 : Diaporama "Ombres et volumes". Extrait ;

 

Coquilles approchées

Voici une étude photographique de 2010 : Diaporama "Coquilles approchées". Extrait :
 

mardi 16 octobre 2012

Impressions de Matière et d'Espace à Barcelone

Voici, ramenées de Barcelone (Espagne), quelques impressions de Matière et d'Espace : Diaporama "Matière et Espace à Barcelone". Extrait :

   

dimanche 14 octobre 2012

Les Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (France) sur le web par Gallica BNF

Les Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (France) sont publiés par la Bibliothèque Nationale de France. Le site web http://gallica.bnf.fr en permet la consultation.

Par exemple, le théorème de 1932 de Mazur et Ulam est lisible des pages 946 à 948 dans le volume référencé http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31473

Return on the 1932 proof of the Mazur-Ulam Theorem

In 1932, Mazur and Ulam proved that any isometry f of a normed space E , with f(0)=0, is necessarily a linear transformation. The following article revisits that theorem and its proof: Borboleta_2012_Return-on-the-1932-proof-of-the-Mazur-Ulam-Theorem.pdf

dimanche 23 septembre 2012

Homework on Jordan-Neumann Inner Product Space Characterization

Here is an homework that revisits  (in the simplest case of real vector space) the proof of 1935 by Jordan and von Neumann, that a vector normed space satisfying the parallelogram law can be equiped with an inner productBorboleta_2012_Homework-on-Jordan-Neumann-Inner-Product-Spaces-Characterization.pdf.

 In this proof, the triangular inequality proprety of the norm is invoked for a continuity argument, but otherwise not used.

samedi 8 septembre 2012

Comment trouver des travaux de caractérisation de l'espace euclidien parmi les espaces vectoriels normés ?

J'ai appris d'une question sur le site http://mathoverflow.net/ que les mots clés fructueux pour trouver sur le Net des travaux de caractérisation de l'espace euclidien parmi les espaces vectoriels normés sont " Characterization of Inner Product Spaces".

Avec ce sésame, on moissonne des livres et des articles. Il n'y a plus qu'à travailler à les comprendre.

Merci aux contributeurs de MathOverflow.

dimanche 15 juillet 2012

The group of linear isometries in R2 is discrete and finite group any p-norm, except for p=2!

The euclidean norm is special among the p-norms. Indeed, let us focus on the plan R2. The set of linear isometries in R2, for any p-norm, always composes a group. But for any p-norm, except for p=2, such group is discrete and finite; basiclly it is generated by median and diagonal reflections. Only for p=2, such group of linear isometries is continous. This is showed in the article Borboleta_2012_Linear-Isometries-in-R2-for-P-Norms.

samedi 4 décembre 2010

Boules unité en normes-p

Voici à quoi ressemble les boules "unité", généralisation du cercle "unité", en normes-p. Le logiciel GeoGebra a permis de les tracer aisément.

Boules-unite-en-normes-p--avec-quadrillage-et-equation.png

Les perpendiculaires de R2 en norme-p ne sont presque jamais droites sauf pour p=2 !

Parmi les normes-p de R2, seule la norme-2 induit des perpendiculaires toujours droites. C'est ce que montre l'article Les-perpendiculaires-en-norme-p-ne-sont-pas-des-droites-sauf-pour-p-egal-2.pdf .

Definition-de-la-perpendiculaire.PNG

C'est un pas de plus dans le cheminement pour la caractérisation de l’espace euclidien, dans un premier temps, par des contre-exemples de normes déconnectées d’un produit scalaire

dimanche 21 novembre 2010

Focus sur gouttes devant verdure extérieure

Série de photos de gouttes devant verdure extérieure Diaporama "Focus sur gouttes". Extrait :

 

(Mise en diaporama le 10 novembre 2012)

- page 1 de 2